Degrés vs radians

Les Degrés

Pour comprendre l’intérêt des radians et pourquoi ils ont été introduits, il faut déjà qu’on dise un mot sur les degrés. Les degrés correspondent à un découpage du cercle en 360. Cette manière de mesurer les angles est très ancienne. Elle remonte aux Babyloniens et aux Chinois il y a 4700 ans.

Le problème c’est que ce choix de 360 degrés est complètement arbitraire. On attribue souvent ce choix de 360 au fait que les Babyloniens comptaient en base 60 qu’on appelle aussi base sexagésimale et le calendrier chinois est lui aussi basé sur un cycle sexagésimal.

Alors pourquoi 60 ? Une première raison c'est que ce nombre a beaucoup de diviseurs : il est divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15 etc.

Une autre raison pragmatique est la méthode de calcul avec les phalanges qu’utilisaient ces peuples qui permet facilement de compter jusqu’à soixante. Avec le pouce d’une main on compte ses phalanges jusqu’à douze et avec les doigts de l’autre main on compte les douzaines. Pratique !

Du coup nos 60 minutes et 60 secondes ça vous dit quelque chose ? On a nous aussi un découpage du temps en divisions et subdivisions de taille 60 puisqu’une minute c’est un soixantième d’heure et une seconde un soixantième de minute. Et en navigation c’est également de cette manière qu’on subdivise les degrés lorsqu’on donne les angles en Degré-Minute-Seconde.

Par exemple le point de coordonnées 0°0’0"N 0°0’0"E correspond à l'intersection de l'équateur avec le méridien de Greenwich. On voit aussi qu’on peut subdiviser le degré comme un nombre décimal, donc vous imaginez bien les problèmes de conversion entre degré décimal et Degré-Minute-Seconde.

Donc les degrés sont basés sur un découpage historique et arbitraire du cercle en 360 parts égales et il y a plusieurs manières de les subdiviser, avec le degré décimal ou le système Degré-Minute-Seconde.

Les radians

À côté de ça les radians sont beaucoup plus récents puisqu’ils datent du XVIIIe siècle et leur définition est beaucoup plus naturelle que celle des degrés.

Les radians sont tellement plus naturels que les degrés pour mesurer les angles qu’ils font partie du système international d’unités alors que les degrés n’en font pas partie ! Les degrés sont quand même tolérés pour mesurer les angles mais ça confirme que les radians sont la manière officielle de mesurer les angles.

Alors comment définir les radians ?

Pour commencer il nous faut un cercle sur lequel on veut mesurer des angles, disons le cercle unité. On dispose déjà d’une longueur dans notre construction qui est le rayon du cercle, ici de longueur 1. Alors pourquoi ne pas utiliser cette longueur pour mesurer les angles ? Pour ça on place notre longueur unité à côté du cercle et on l’enroule comme du fil autour d’une bobine. Ça nous donne un arc de longueur unité et un radian c’est ça, c’est l’angle déterminé par cet arc unité. On dit aussi que c’est l’angle intercepté par cet arc.

Maintenant qu’on a un radian on obtient facilement ses multiples 2 radians ou 3 radians. En fait on obtient n’importe quel angle de x radians en enroulant un segment de longueur x autour du cercle unité.

Par exemple quel angle en radian correspond à un tour complet ? Comme le périmètre de notre cercle c’est 2π fois le rayon donc ici 2π, pour faire un tour complet il faut donc enrouler un segment de longueur 2π. C’est pour ça que 2π radians correspondent à un tour complet soit 360°. Et donc un demi tour c’est π radians un quart de tour π/2 radians etc.

À ce stade vous vous dites sans doute

ok en fait mesurer des radians ça revient à mesurer la longueur de l’arc de cercle qui intercepte un angle donné

C’est presque ça, à un détail près. Les radians ne sont pas une longueur. Sinon ils se mesureraient en mètres. Or si l’on revient sur la page du système international on voit que les radians correspondent au rapport de deux longueurs, c’est des mètres par mètres, autrement dit ils sont sans unité. Comment ça se fait ? Où est le rapport de longueurs dans notre construction ? Pour répondre il faut qu’on soit légèrement plus précis dans notre construction des radians.

Reprenons notre cercle unité. Si à présent on souhaite mesurer des angles en radians sur un cercle plus grand, il faut que un radian sur le grand cercle détermine le même angle que un radian sur le cercle unité. Sinon c’est pas cohérent. Or si j’enroule un segment de longueur 1 sur ce grand cercle il ne va pas intercepter le même angle que sur le petit cercle. Donc déjà on comprend pourquoi les radians ne sont pas une longueur. Les longueurs jaunes sont égales, pourtant elles ne donnent pas le même angle. On voit aussi qu’il s’agit d’un problème de proportionnalité puisque sur le grand cercle il faudrait enrouler un plus grand segment pour obtenir le même angle.

Quelle est la bonne définition de un radian alors ? Et bien c’est celle qu’on a donné tout à l’heure, au début de la vidéo ! Ré-écoutons le passage attentivement :

On dispose déjà d’une longueur dans notre construction qui est le rayon du cercle […] Alors pourquoi ne pas utiliser cette longueur pour mesurer les angles ?

Si on utilise le rayon du grand cercle comme longueur unité alors lorsqu’on l’enroule on voit qu’elle intercepte bien le même angle. Pour mesurer un angle en radian il faut en fait mesurer la longueur d’arc de cercle qui intercepte l’angle par rapport au rayon du cercle.

Prenons un exemple, pour mesurer l’angle vert on compte combien de fois l’arc jaune (qui correspond au rayon du cercle) peut y aller. Il y va 2,5 fois sur le grand cercle comme sur le petit donc l’angle mesure 2,5 radians.

Donc les radians mesurent la longueur de l’arc par rapport au rayon et sur les deux cercles l’arc qui intercepte l’angle vert est bien 2,5 fois plus long que le rayon. Donc les radians sont bien une proportion de deux longueurs et c’est pour ça que l’unité est sans dimension.

Et finalement lorsque vous êtes sur un cercle unité vous pouvez faire comme si les radians correspondent à une longueur puisque dans ce cas le rapport de proportionnalité est de 1. On retrouve alors dans ce cas que par exemple rad correspondent à un tour de cercle ainsi qu’au périmètre du cercle.